Wiskundige paradoxen: Hilberts Hotel

Oneindigheid

Het begrip “oneindigheid” staat in de wiskunde voor iets dat groter is dan direct in getallen is uit te drukken.  Hilberts Hotel is een abstract idee dat werd bedacht door de Duitse wiskundige David Hilbert om vat op dit oneindige te krijgen.

Stel je een hotel voor met een oneindig aantal kamernummers: 1, 2, 3, 4, 5, 6, tot in het oneindige. In het hotel geldt een belangrijke regel: alle gasten krijgen een kamer, op voorwaarde dat ze van kamer veranderen als dat van hen wordt gevraagd. De gasten maar binnenstromen: binnen de kortste keren zit het hotel met een oneindig aantal kamers “vol” met een oneindig aantal gasten.

Oneindig veel nieuwe gasten

Neem nu de volgende situatie: er komt een nieuwe gast naar het hotel. Hij vraagt naar een kamer. De receptionist vraagt iedere gast om één kamer op te schuiven, zodat de nieuwe gast plaats kan nemen in kamer 1.

Een andere situatie: een reisleider komt aan de balie, met een oneindige buslading toeristen. Kunnen zij in het hotel met oneindig veel kamers overnachten? Zo ja, in welke kamers kunnen zij dan verblijven? De receptionist verzoekt alle gasten om te verhuizen naar een kamernummer dat het dubbele is van hun huidige kamernummer. Zo komt er een oneindig aantal kamers met een oneven nummer vrij. Et voilà, de oneindige buslading toeristen kan in het hotel overnachten.

De laatste situatie: weer een reisleider, maar nu eentje met een oneindig aantal busladingen bestaande uit oneindig veel toeristen. Wat nu? Zoals je zult verwachten, is ook dit geen probleem. Alle gasten wordt weer verzocht om naar het kamernummer te verhuizen dat het dubbele is van hun huidige kamernummer, zodat de oneven kamernummers vrijkomen. De nieuwe gasten krijgen vervolgens een kamernummer toegewezen dat een machtsverheffing is van een van de priemgetallen (3, 5, 7, 11, 13 enzovoorts). Het aantal priemgetallen is namelijk ook oneindig, en door de kamernummers te baseren op machtsverheffingen van priemgetallen kan het ook nooit voorkomen dat twee gasten op dezelfde kamer terechtkomen.

Bron: Lamua, Antonio (2011). Het boek der oneindigheid. Uitgeverij  Librero

Share Button

De verjaardagsparadox

Jarig op dezelfde dag, toeval of niet?

Wie jarig is, trakteert. Vandaar dat ik jullie vandaag trakteer op een leuke paradox: de verjaardagsparadox. Want zeg nou zelf, hoe groot is de kans dat je iemand tegenkomt die op dezelfde dag als jij jarig is?

De verjaardagsparadox: een kleine kans?

De verjaardagsparadox heeft te maken met kansberekening. Zoals ik al eerder schreef, is een paradox een schijnbare tegenstelling. De verjaardagsparadox is een paradox, omdat het resultaat indruist tegen de intuïtie van veel mensen. De paradox gaat om de vraag hoe groot de kans is dat er in een groep van willekeurig gekozen mensen twee (of meer) mensen zijn die op dezelfde dag jarig zijn. De meeste mensen denken dat deze kans heel klein is, maar klopt dit wel?

Twee mensen jarig op dezelfde dag

Om maar meteen met de deur in huis te vallen: als je een groep van 23 mensen hebt, is de kans dat twee mensen op dezelfde dag jarig zijn al meer dan 50%. Ja, echt. Een kleine zoektocht levert een heleboel websites op  waarop de berekening voor dit percentage wordt uitgelegd (bijvoorbeeld hier, hier en hier). De reden dat de meeste mensen verbaasd zijn over de kans dat twee mensen op dezelfde dag jarig zijn, heeft te maken met een bepaalde aanname. Vaak wordt namelijk aangenomen dat het om een specifieke dag moet gaan waarop twee mensen jarig zijn. Bij de verjaardagsparadox ligt de dag echter niet vast, het draait om de vraag of er een dag is waarop twee mensen jarig zijn. En aangezien een jaar 365 dagen telt, zijn er dus veel mogelijkheden. Vind je dit lastig om te bevatten? Bedenk dan maar eens hoeveel mensen uit je klas of in je familie op dezelfde dag jarig zijn.

Share Button

De paradox van Zeno

 

Zeno’s paradox: Achilles en de schildpad

Tijd om de hersens te laten kraken! Zeno van Elea was een Griekse filosoof die beroemd werd om zijn paradoxen, ogenschijnlijk tegenstrijdige situaties. Hij bedacht er meerdere, maar in dit artikel staat één paradox van Zeno centraal: die van de schildpad en Achilles.

Het verhaal is als volgt: Achilles en de schildpad houden een hardloopwedstrijd, maar ze beginnen niet op hetzelfde punt. Het beginpunt van Achilles noemen we A. De schildpad krijgt een voorsprong en begint op punt B. Achilles, die zeker weet dat hij sneller is dan die trage schildpad, maakt zich in eerste instantie geen zorgen. De schildpad beweert echter dat Achilles hem nooit zal inhalen, want… zodra Achilles van punt A naar punt B is gelopen, is de schildpad alweer verder: hij is bij punt C. Om hem in te halen moet Achilles naar punt C lopen. Dat kost alweer tijd, tijd waarin de schildpad naar punt D is gelopen. En zo verder. De afstand wordt steeds kleiner, maar Achilles haalt de schildpad nooit in. Achilles luisterde dit verhaal aan, en besloot toch maar van de wedstrijd af te zien.

Ja, maar…

De bewering van de schildpad is natuurlijk niet waar, al klinkt het wel heel aannemelijk.  Achilles loopt veel sneller dan de schildpad, en zal hem op een gegeven moment dus inhalen. Dat is makkelijk te beredeneren door aan deze wedstrijd een eindpunt toe te voegen, punt Z. Achilles moet van punt na A naar punt Z. Laten we zeggen dat dat 5000 meter is. De schildpad heeft een voorsprong van 500 meter, en moet dus maar 4500 meter afleggen. Achilles rent met een snelheid van 200 meter per minuut. De schildpad haalt de 100 meter per minuut, als hij goed zijn best doet. Achilles is dus in 25 minuten bij het eindpunt, terwijl de schildpad er 45 minuten over doet. Een eenvoudige vergelijking leert dat Achilles de schildpad in de werkelijkheid dus al na 5 minuten zal inhalen.*


*Reken maar mee:

  • 200m = 100m+500
  • 100m = 500
  • m = 500/100
  • m = 5

 

Bronnen:

  • Pickover, C.A. 2011. Het Wiskundeboek. Kerdriel: Uitgeverij Librero
  • http://www.hhofstede.nl/paradoxen/zeno.htm

 

Share Button