Vijf weetjes over Leonhard Euler

Leonhard Euler

In mijn artikel over bevriende getallenparen kwam hij al even ter sprake: de Zwitserse wiskundige en natuurkundige Leonhard Euler. Wie hij precies was en wat hij voor de wiskunde heeft betekent, heb ik hier samengevat in vijf ‘Eulerweetjes’.

Vijf weetjes over Leonhard Euler

  1. Leonhard Euler leefde van 1707 tot 1783 en bracht het grootste deel van zijn leven door in Rusland en Duitsland, waar hij werkte aan een zeer uitgebreid wiskundig oeuvre. Euler geldt als de belangrijkste wiskundige van de achttiende eeuw. Hij is sowieso een van de belangrijkste wiskundigen aller tijden.
  2. Euler bedacht de namen van de goniometrische functies sinus, cosinus en tangens. Je weet wel, waarmee je het hellingsgetal en de hoek kan uitrekenen bij een rechthoekige driehoek.
  3. Ook bedacht Euler het getal ‘e’. Dit getal is het grondtal van het natuurlijke logaritme. Het getal is ongeveer 2,71828182849. Hij noemde dit getal het exponentiële getal.
  4. Tussen 1747 en 1750 ontdekte Leonhard Euler zestig paren van bevriende getallen.
  5. Ook voor het gebruik van het getal  π was Euler belangrijk. Hij zorgde ervoor dat dit getal gebruikelijk werd om de verhouding van een cirkel tot zijn diameter te verklaren (straal x straal x π).

1

 

 

 

Share Button

Bevriende getallen

Bevriende getallenparen

We beginnen met een reeks: (220, 284), (1184, 1210), (2620, 2924), (5020, 5564), (6232, 6368), (10744, 10856), (12285, 14595), (17296, 18416), (63020, 76084). Kijk er maar even goed naar…

Deze getallenparen worden bevriende getallen genoemd. In de getallenwereld zijn er veel getallen met bijzondere eigenschappen, zoals deze bevriende getallen. Van twee getallen wordt gezegd dat ze bevriend zijn als de som van de delers van het ene getal gelijk is aan het andere getal, terwijl de delers van het andere getal bij elkaar opgeteld het ene getal opleveren. Het getal zelf wordt daarbij niet als deler meegenomen.

Bevriende getallen ontdekken

Het eerste paar bevriende getallen is in de Oudheid ontdekt door Pythagoras. Laten we kijken waarom deze twee getallen bevriend zijn:
• De som van de delers van 220: 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284
• De som van de delers van 284: 1 + 2 + 71 + 142 = 220

Na Pythagoras’ ontdekking duurde het nog ongeveer tien eeuwen voordat het volgende paar bevriende getallen werd gevonden, dit maal door de Arabische wiskundige Ibn Al-Banna. Het volgende paar werd omstreeks 1600 ontdekt in Perzië. Hoeveel bevriende getallen er in totaal zijn, is onbekend. De Zwitserse wiskundige Leonhard Euler ontdekte tussen 1747 en 1750 nog zestig nieuwe paren van bevriende getallen. Tegenwoordig zijn er ongeveer twaalf miljoen bevriende getallenparen bekend.

Maar waarom?

Wat het nut van deze kennis? Naast dat het (natúúrlijk) ontzettend interessant is om te weten dat er getallen zijn met overeenkomstige eigenschappen, kan het voor leerlingen ook handig zijn om te ontrafelen waarom bepaalde getallen een bevriend paar vormen. Hier drie ijzersterke argumenten:
• Het is een toepassing van de deelbaarheidsregels. Door te onderzoeken of getallen bevriend zijn, moeten leerlingen nagaan of een getal deelbaar is door een kleiner getal.
• Daarmee is het gelijk ook een oefening van de tafels van vermenigvuldiging.
• Door te zoeken naar bevriende getallen, kunnen er ook weer meer priemgetallen achterhaald worden. Deze priemgetallen zijn weer te gebruiken bij het verenvoudigen van breuken en ontbinden in factoren.

Succes met zoeken!


Bronnen:

  • Pickover, C.A. 2011. Het Wiskundeboek. Kerdriel: Uitgeverij Librero
  • Wikipedia
  • Digitaalrekenboek.nl
  • Wiskundemagie.be
  • https://www.cielen.eu/bevriende-getallen-uitleg.pdf

 

Share Button

Wiskundige spelletjes

Vijf bekende wiskundige spelletjes

Veel spellen hebben hun basis in de wiskunde en logica. Daarom vandaag vijf verschillende wiskundige spelletjes op een rij: boter-kaas-en-eieren, Hex, Mastermind, de Torens van Hanoi en de Rubik’s Cube.

1. Boter-kaas-en-eieren

Boter-kaas-en-eieren is waarschjinlijk een van de oudste en bekendste spellen. Wie kent het niet? Om de buurt zetten twee spelers, O en X, hun symbool in de vakjes van een raster van 3 bij 3. Wie als eerste drie een horizontale, verticale of diagonale lijn heeft gevormd met zijn symbolen, heeft gewonnen. Natuurlijk is gelijkspel ook mogelijk. Leuk om te weten: er zijn 362.880 manieren op de X en O op het bord te plaatsen (namelijk 9!, oftewel 9 x 8 x  7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2). In totaal zijn er 255.168 mogelijke spellen te spelen.

2. Hex

Hex is een bordspel voor twee spelers. Het speelbord bestaat uit ruitvormig gerankschikte zeshoeken en kan verschillende grootten aannemen. Meestal worden speelborden van 7 x 7 of 11 x 11 gebruikt. Spelers plaatsen om en om een gekleurde fiche (bijvoorbeeld rood en groen) op een van de zeskhoeken. De bedoeling is dat rood een rood pad probeert te maken dat twee van de overstaande zijden van de ruit met elkaar verbindt, en dat blauw een blauw pad probeert te maken tussen de andere twee overstaande zijden.

3. Mastermind

Mastermind is een logische klassieker. Het spel is in 1970 uitgevonden door Mordecai Meirowitz, een Israelische telecom-expert. Mastermind wordt gespeeld door twee spelers. De ene speler kiest een geheime code van vier kleuren. Daar heeft hij in totaal 1206 mogelijkheden voor (6 x 6 x 6 x 6). De andere speler probeert deze code te raden, door steeds vier pionnen op het spelbord te plaatsen. De codemaker moet vervolgens aangeven hoeveel van de gekleurde pionnen op de juiste plaats staan en hoeveel juist gekleurde op de verkeerde plaats staan, zonder aan te geven om welke pionnen het gaat. Daarna gaat de tegenstander weer verder met raden.

4. De Torens van Hanoi

De Torens van Hanoi is een wiskundige puzzel, uitgevonden door de Franse wiskundige Francois Édouard Antatole Lucas. Het spel bestaat uit een plankje met daarop drie stokjes. Op een van die stokjes zijn acht schijven geplaatst, gerangschikt op grootte, zodat ze een kegelvormige toren vormen. De bedoeling is dat de complete schijventoren naar een ander stokje wordt verplaatst. De regels zijn daarbij als volgt: spelers mogen maar één schijf tegelijk verplaatsen, en een grotere schijf mag niet op een kleinere rusten.

 

5. Rubik’s Cube

Deze welbekende kubus is in 1974 bedacht door de Hongaarse uitvinder Ernö Rubik. De kubus bestaat uit 3 x 3 x 3 kleinere kubussen, met grensvlakken in verschillende kleuren. Elke rij met blokjes kan zowel verticaal als horizontaal worden gedraaid. Het spel heeft als doel om de kubussen zo te draaien dat elke zijkant van de grote kubus maar één kleur heeft. Daar zijn trouwens 43252003274489856000 verschillende mogelijkheden voor.

Share Button

De stelling van Pythagoras

De stelling van Pythagoras

Iedere middelbare scholier moet ‘m leren: de stelling van Pythagoras. Deze stelling laat zien wat het verband is tussen de zijden van een rechthoekige driehoek, namelijk: A² + B² = C². In woorden: de lengte van de korte rechthoekszijde in het kwadraad plus de lengte van de lange rechthoekszijde in het kwadraat is de lengte van de schuine zijde in het kwadraat.

Wist je dat…..

Over Pythagoras zelf zijn ook een heleboel interessante dingen te vertellen, en dat leert bijna niemand tijdens wiskunde. Daarom hier opgesomd, vijf interessante weetjes over de beste man en zijn wiskunde:

  • Pythagoras was de eerste echte wiskundige en filosoof met een eigen groep volgelingen. Pythagoras leefde in de zesde eeuw voor Christus was afkomstig van het Griekse eiland Samos. Zijn volgelingen, de Pythagoreeërs, werden mathematikoi genoemd.
  • Pythagoras en zijn volgelingen dachten dat getallen de bouwstenen van het heelal waren, dat filosofie kan helpen bij het bereiken van geestelijke zuiverheid en dat bepaalde symbolen een mystieke betekenis hebben.
  • Daarnaast hadden de Pythagoreeërs heel strikte leefregels. Ze aten geen bonen, ze raapten niets op wat gevallen was, ze raakten geen witte hanen aan, ze aten geen hele broden, ze maakten geen bloemenslingers, ze keken niet in een spiegel waar een lamp naast staat en ze wandelden niet over hoofdwegen.
  • Vegetariërs werden vroeger Pythagoreërs genoemd. Het woord vegetariër werd in 1847 pas een officieel woord, toen in Engeland de Vegetarian Society werd opgericht.
  • De stelling van Pythagoras is ook in de praktijk heel handig, bijvoorbeeld in de bouw. Met de stelling kun je namelijk berekeken hoe lang een ladder moet zijn bij een bepaalde hoogte te komen, of hoe veel dakpannen er op een dak gelegd moeten worden.

Bronnen:
  • Pickover, C.A. 2011. Het Wiskundeboek. Kerdriel: Uitgeverij Librero
  • www.math4all.nl
  • www.wisfaq.nl

 

 

 

 

Share Button

De paradox van Zeno

 

Zeno’s paradox: Achilles en de schildpad

Tijd om de hersens te laten kraken! Zeno van Elea was een Griekse filosoof die beroemd werd om zijn paradoxen, ogenschijnlijk tegenstrijdige situaties. Hij bedacht er meerdere, maar in dit artikel staat één paradox van Zeno centraal: die van de schildpad en Achilles.

Het verhaal is als volgt: Achilles en de schildpad houden een hardloopwedstrijd, maar ze beginnen niet op hetzelfde punt. Het beginpunt van Achilles noemen we A. De schildpad krijgt een voorsprong en begint op punt B. Achilles, die zeker weet dat hij sneller is dan die trage schildpad, maakt zich in eerste instantie geen zorgen. De schildpad beweert echter dat Achilles hem nooit zal inhalen, want… zodra Achilles van punt A naar punt B is gelopen, is de schildpad alweer verder: hij is bij punt C. Om hem in te halen moet Achilles naar punt C lopen. Dat kost alweer tijd, tijd waarin de schildpad naar punt D is gelopen. En zo verder. De afstand wordt steeds kleiner, maar Achilles haalt de schildpad nooit in. Achilles luisterde dit verhaal aan, en besloot toch maar van de wedstrijd af te zien.

Ja, maar…

De bewering van de schildpad is natuurlijk niet waar, al klinkt het wel heel aannemelijk.  Achilles loopt veel sneller dan de schildpad, en zal hem op een gegeven moment dus inhalen. Dat is makkelijk te beredeneren door aan deze wedstrijd een eindpunt toe te voegen, punt Z. Achilles moet van punt na A naar punt Z. Laten we zeggen dat dat 5000 meter is. De schildpad heeft een voorsprong van 500 meter, en moet dus maar 4500 meter afleggen. Achilles rent met een snelheid van 200 meter per minuut. De schildpad haalt de 100 meter per minuut, als hij goed zijn best doet. Achilles is dus in 25 minuten bij het eindpunt, terwijl de schildpad er 45 minuten over doet. Een eenvoudige vergelijking leert dat Achilles de schildpad in de werkelijkheid dus al na 5 minuten zal inhalen.*


*Reken maar mee:

  • 200m = 100m+500
  • 100m = 500
  • m = 500/100
  • m = 5

 

Bronnen:

  • Pickover, C.A. 2011. Het Wiskundeboek. Kerdriel: Uitgeverij Librero
  • http://www.hhofstede.nl/paradoxen/zeno.htm

 

Share Button

14 maart: Pi-dag

Pi-dag

Feest op universiteiten

Vandaag, 14 maart, is het Pi-dag. Op deze dag wordt wereldwijd op verschillende wiskundeafdelingen van universiteiten feestgevierd. Pi-dag wordt op 14 maart gevierd, omdat in de Amerikaanse schrijfwijze voor data 14 maart geschreven wordt als 3/14 en de driecijferige benadering voor π 3,14 is. Deze dag wordt op verschillende manieren gevierd. Zo staan sommigen stil bij de rol die π in hun leven gespeeld heeft en proberen zich op humoristische wijze een wereld zonder π voor te stellen.

De viering begint gewoonlijk om 13:59 uur (1:59 PM), omdat de zescijferige benadering van π 3,14159 is. Mensen die de 24-uurs klokindeling gebruiken handhaven een ander begin: 1:59 of 15:09. Het “ultieme pi-moment” was op 14 maart 1592 om 6:53 en 58 seconden, omdat dit 3/14/1592 6:53:58 in de Amerikaanse schrijfwijze voor data is. Dit komt overeen met de eerste 12 cijfers van π (3,14159265358).

Pie en pizza

Op scholen en universiteiten in Amerika begon men een aantal jaren geleden de pi-dag te vieren met het eten van taart (in het Engels pie, ook de letter pi wordt door Engelstaligen zo uitgesproken) of pizza. Of er worden etenswaren gemaakt in de vorm van een pi-teken. Ook is er een spel aan verbonden, kinderen moeten proberen te raden wat het getal van π is met behulp van een cirkel en hun schoen.

Bron:
Share Button

Zeven vrouwen in de wiskunde

Vrouwen & wiskunde

Als vrouwelijke wiskundige val je op. Wiskunde is (vooralsnog) een mannenwereld. Dat mannen beter zijn in wiskunde dan vrouwen, is een wijdverspreid idee. Daarom vandaag, op Wereldvrouwendag, zeven belangrijke vrouwen in de wiskunde. In willekeurige volgorde, zonder herhaling.

1. Sofia Kovalevskaja (1850-1891)

De Russische wiskundige Sofia Kovalevskaja was de eerste vrouw in de geschiedenis die een doctoraat in de wiskunde ontving. Ze studeerde summa cum laude als doctorandus af aan de Universiteit van Göttingen. Kovalevskaja richtte zich in haar werk op partiële differntiaalvergelijkingen, elliptische integralen en de ringen van Saturnus. Omdat ze een vrouw was, kreeg ze geen academische functie. Uiteindelijk werd ze in 1884 docent aan de Universiteit van Stockholm.

2. Hypatia van Alexandrië (ca. 370-415)

Hypatia van Alexandrië is de eerste vrouwelijke wiskundige waar een betrouwbaar en gedetailleerd beeld van bestaan. Ze beschouwde zichzelf als een neoplatonist, ongelovig en een volgeling van Pythagoras en moest dat uiteindelijk met de dood bekopen. Ze werd namelijk door een fanatieke christelijke menigte aan stukken gereten, omdat ze zich niet aan de strikte christelijke regels hield. Na haar dood vertrokken veel wetenschappers uit Alexandrië.

3. Amalie Emmy Noether (1882-1935)

Amalie Emmy Noether was een Duitse wiskundige. Ook zij ervaarde tegenstand toen ze als docent wilde werken op de Universiteit van Göttingen. Ze is bekend vanwege haar bijdrage aan de abstracte algebra en de theoretische natuurkunde. Albert Einstein noemde haar het belangrijkste wiskundige genie sinds het hoger onderwijs vrouwen toelaat.

4. Sijue Wu (1964)

Wu is een Chinees-Amerikaanse wiskundige die zich bezighoudt met de wiskundige principes achter watergolven. In 2001 was ze genomineerd voor de Ruth Lyttle Satter Prize. Dit award is een erkenning voor een belangrijke bijdrage aan het wiskundig onderzoek door vrouwen. In 2010 won ze als eerste vrouw de Morningside Gold Medal, de meest prestigieuze prijs voor Chinese wiskundigen.

5. Maria Gaetani Agnesi (1718-1799)

De Italiaanse wiskundige Maria Gaetani Agnesi was een wonderkind. Als dertienjarige sprak ze al zeven talen. Sociale contacten vermeed ze echter. Agnesi richtte zich volledig op de studie van de wiskunde. Haar werk ‘Analytische instituten’ zorgde voor grote opschudding.

6. Mary Everest Boole (1832-1916)

Mary Everest Boole was de vrouw van de wiskundige en filosoof George Boole. Ze is bekend vanwege haar werk Filosofie en het plezier met algebra. Voor sommige hedendaagse feministen is zij een heldin vanwege haar doorzettingsvermogen en wiskundige passie. Mary had als doel om te begrijpen hoe mensen (en vooral kinderen) wiskunde en wetenschap aanleren door redenering en onbewuste processen.

7. Maryam Mirzakhani (1977-2017)

De Iraanse wiskundige Maryam Mirzakhani kreeg in 2014 als enige vrouw ooit de Field Medal. Die prijs wordt gezien als de belangrijkste onderscheiding binnen de wiskunde en wordt daarom regelmatig de Nobelprijs voor de wiskunde genoemd. Mirzakhani’s wiskundige onderzoek ging over het begrijpen van mogelijke patronen op oppervlakken. Zo werkte ze aan het wiskundige vraagstuk of een biljartbal alle delen van de biljarttafel zal passeren, als de bal maar lang genoeg blijft rondkaatsen.

Bronnen:

  • Calmthout, M. van. 2017. Maryam Mirzakhani (1977-2017) was een boegbeeld voor vrouwen in de wiskunde. In: De Volkskrant (16 juli)
  • Pickover, C.A. 2011. Het Wiskundeboek. Kerdriel: Uitgeverij Librero
  • http://info.math4all.nl/Wiskundegeschiedenis/Wiskundigen/Hypatia.html
  • https://isgeschiedenis.nl/nieuws/biografie-emmy-noether
  • https://www.agnesscott.edu/lriddle/women/boole.htm
  • http://www.math.lsa.umich.edu/~sijue/
Share Button