Bijzonder getallen: het getal nul

Het getal nul (0) is een bijzonder getal. Het duidt namelijk aan dat er niets is; en toch maakt het vaak een groot verschil. Denk maar eens aan het verschil tussen 1, 10, 100 en 1000.

De geschiedenis van nul

Het getal nul werd in 628 voor het eerst gebruikt, in India, door de geleerde Brahmagupta. Die stelde een aantal rekenregels op voor het rekenen met het getal. Pas in de negende eeuw werd het getal in India echter echt gebruikt. De oude Egyptenaren waren die eersten die een teken gebruikten om ‘niets’ aan te geven, maar dat teken betekende niet hetzelfde als het getal nul. De Babyloniërs hadden ook geen teken voor nul, maar gebruikten een lege ruimte om iets aan te duiden wat er niet was. In Europa wordt het getal nul pas in de twaalfde eeuw een gangbaar getal. Dit komt omdat de Romeinen er eerder niets vanaf wilden weten. Zij gebruikten het woord ‘nulla’ om niets aan te duiden, en het woord ‘nihil’ als een berekening op niets uitkwam. Voor getallen als 10, 100 en 1000 gebruikten zij de letters X, C en M. Het (theoretische) probleem dat dit opleverde was dat dit tot lange getallenreeksen leidde, waarbij heel grote getallen niet in een klein aantal symbolen konden worden weergegeven. Ook de oude Grieken hadden geen nul. Zij dachten namelijk: Kan iets wel niets zijn? Een heel filosofische discussie dus.

Unieke eigenschappen van nul

Het getal heeft naast een bijzondere geschiedenis ook een aantal unieke eigenschappen. Zo is vermenigvuldigen met nul altijd nul, is delen door nul niet toegestaan en zijn een heleboel andere rekenkundige bewerkingen voor het getal nul niet gedefinieerd.

Bronnen: NRC Handelsblad, Nemo Kennislink en Wiskunde.net

Share Button

Het mysterie van de priemgetallen

Priemgetallen, je hebt er vast al wel eens van gehoord. Maar wat zijn het precies? En hoe weet je of iets een priemgetal is? En waarom is het belangrijk om te weten wat priemgetallen zijn?

Wat zijn priemgetallen?

Simpel gezegd zijn priemgetallen natuurlijke getallen die groter zijn dan 1, en die alleen deelbaar zijn door 1 of door zichzelf. Het eerste priemgetal is dus 2, gevolgd door 3, 5, 7, 11, 13, 17 en 19. Het grootste bekende priemgetal telt 22.338.618 cijfers en is dus iets te lang om hier op te schrijven :-). Van alle natuurlijke getallen is ongeveer 18% een priemgetal.

Hoe weet je of iets een priemgetal is?

Er zijn al heel veel priemgetallen bekend, maar toch wordt nog steeds naar nieuwe varianten gezocht. Een formule waarmee alle priemgetallen berekend kunnen worden is er niet, alhoewel veel wiskundigen een poging hebben gewaagd. Het oudste voorbeeld hiervan is de Zeef van Eratosthenes, een Griekse geleerde. Deze methode is vooral handig voor het berekenen van kleine priemgetallen. Een goede uitleg vind je hier. Er zijn ook meer recente wiskundigen die zich aan het berekenen van priemgetallen hebben gewaagd, zoals Fermat, Mersenne en Euler.

Het nut van priemgetallen

Behalve dat er goed geld te verdienen is met het ontdekken van nieuwe priemgetallen, zijn deze getallen ook zeer nuttig. En niet alleen voor wiskundigen en wiskundeleraren! Priemgetallen worden bijvoorbeeld gebruikt in de cryptografie, om geheime informatie te coderen. Denk hierbij aan zoiets als een digitale bankoverschrijving. En natuurlijk geldt: hoe meer informatie beveiligd moet worden, hoe meer priemgetallen er nodig zijn. Aan de slag dus!

Bronnen: http://www.megawetenschap.nl/priemgetallen.htm, https://www.scientias.nl/grootste-priemgetal-ooit-ontdekt/ en https://www.nemokennislink.nl/publicaties/de-simpele-magie-van-priemgetallen-in-geheimschrift/

Share Button

Wiskundige paradoxen: Hilberts Hotel

Oneindigheid

Het begrip “oneindigheid” staat in de wiskunde voor iets dat groter is dan direct in getallen is uit te drukken.  Hilberts Hotel is een abstract idee dat werd bedacht door de Duitse wiskundige David Hilbert om vat op dit oneindige te krijgen.

Stel je een hotel voor met een oneindig aantal kamernummers: 1, 2, 3, 4, 5, 6, tot in het oneindige. In het hotel geldt een belangrijke regel: alle gasten krijgen een kamer, op voorwaarde dat ze van kamer veranderen als dat van hen wordt gevraagd. De gasten maar binnenstromen: binnen de kortste keren zit het hotel met een oneindig aantal kamers “vol” met een oneindig aantal gasten.

Oneindig veel nieuwe gasten

Neem nu de volgende situatie: er komt een nieuwe gast naar het hotel. Hij vraagt naar een kamer. De receptionist vraagt iedere gast om één kamer op te schuiven, zodat de nieuwe gast plaats kan nemen in kamer 1.

Een andere situatie: een reisleider komt aan de balie, met een oneindige buslading toeristen. Kunnen zij in het hotel met oneindig veel kamers overnachten? Zo ja, in welke kamers kunnen zij dan verblijven? De receptionist verzoekt alle gasten om te verhuizen naar een kamernummer dat het dubbele is van hun huidige kamernummer. Zo komt er een oneindig aantal kamers met een oneven nummer vrij. Et voilà, de oneindige buslading toeristen kan in het hotel overnachten.

De laatste situatie: weer een reisleider, maar nu eentje met een oneindig aantal busladingen bestaande uit oneindig veel toeristen. Wat nu? Zoals je zult verwachten, is ook dit geen probleem. Alle gasten wordt weer verzocht om naar het kamernummer te verhuizen dat het dubbele is van hun huidige kamernummer, zodat de oneven kamernummers vrijkomen. De nieuwe gasten krijgen vervolgens een kamernummer toegewezen dat een machtsverheffing is van een van de priemgetallen (3, 5, 7, 11, 13 enzovoorts). Het aantal priemgetallen is namelijk ook oneindig, en door de kamernummers te baseren op machtsverheffingen van priemgetallen kan het ook nooit voorkomen dat twee gasten op dezelfde kamer terechtkomen.

Bron: Lamua, Antonio (2011). Het boek der oneindigheid. Uitgeverij  Librero

Share Button

Wiskunde in ons dagelijks leven: de gulden snede

De gulden snede is een mooi voorbeeld van wiskunde in ons dagelijks leven. We zien deze wiskundige verhouding bijvoorbeeld terug in de kunst en in de natuur.

De perfecte verhouding

De gulden snede, ook wel de “sectio aurea” of “golden ratio” drukt de verhouding uit tussen twee onderdelen, bijvoorbeeld twee kleinere lijnen die samen één lijn vormen. De grootste van die twee lijnen verhoudt zich dan tot de kleinste, zoals het gehele lijnstuk zich verhoudt tot het grootste (voor een voorbeeld, kijk hier). Wiskundig schrijf je dat dan als a : b = (a+b) : a. De verhouding wordt uitgedrukt met het Griekse getal φ (phi). Dit getal wordt ook wel het gulden getal genoemd.

De gulden snede om ons heen

Deze verhouding komt mooi tot uitdrukking de reeks van Fibonacci, waarbij ieder nieuw getal de som is van de vorige twee getallen: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, enzovoorts. Het is ook een verhouding die in de (schilder)kunst veel wordt gebruikt, met name in de Renaissance. Kunstenaars als Michelangelo en Leonardo da Vinci gebruikten de verhouding om tot perfecte, harmonieuze composities te komen (deze tekening ken je bijvoorbeeld vast wel).

Ook in de natuur zien we de verhouding van de gulden snede veelvuldig terugkomen. Ga maar eens na hoe in een bloem de bloembladeren, kelkbladeren en zaden zich tot elkaar verhouden. Of kijk naar een bloemkool of een romanesco. Je ziet het ook terug als je de dwarsdoorsnede van een schelp of slakkenhuisje bekijkt.

Misschien is dat ook wel een verklaring waarom de gulden snede ons als zo’n perfecte verhouding toeschijnt: omdat we er in de natuur zo vaak mee geconfronteerd worden.  

Share Button

De verjaardagsparadox

Jarig op dezelfde dag, toeval of niet?

Wie jarig is, trakteert. Vandaar dat ik jullie vandaag trakteer op een leuke paradox: de verjaardagsparadox. Want zeg nou zelf, hoe groot is de kans dat je iemand tegenkomt die op dezelfde dag als jij jarig is?

De verjaardagsparadox: een kleine kans?

De verjaardagsparadox heeft te maken met kansberekening. Zoals ik al eerder schreef, is een paradox een schijnbare tegenstelling. De verjaardagsparadox is een paradox, omdat het resultaat indruist tegen de intuïtie van veel mensen. De paradox gaat om de vraag hoe groot de kans is dat er in een groep van willekeurig gekozen mensen twee (of meer) mensen zijn die op dezelfde dag jarig zijn. De meeste mensen denken dat deze kans heel klein is, maar klopt dit wel?

Twee mensen jarig op dezelfde dag

Om maar meteen met de deur in huis te vallen: als je een groep van 23 mensen hebt, is de kans dat twee mensen op dezelfde dag jarig zijn al meer dan 50%. Ja, echt. Een kleine zoektocht levert een heleboel websites op  waarop de berekening voor dit percentage wordt uitgelegd (bijvoorbeeld hier, hier en hier). De reden dat de meeste mensen verbaasd zijn over de kans dat twee mensen op dezelfde dag jarig zijn, heeft te maken met een bepaalde aanname. Vaak wordt namelijk aangenomen dat het om een specifieke dag moet gaan waarop twee mensen jarig zijn. Bij de verjaardagsparadox ligt de dag echter niet vast, het draait om de vraag of er een dag is waarop twee mensen jarig zijn. En aangezien een jaar 365 dagen telt, zijn er dus veel mogelijkheden. Vind je dit lastig om te bevatten? Bedenk dan maar eens hoeveel mensen uit je klas of in je familie op dezelfde dag jarig zijn.

Share Button

Wiskundige bewijzen: a2+b2=c2

a2+b2=c2

Iedere middelbare scholier moet ‘m leren: de stelling van Pythagoras. Als bijlesdocent wiskunde heb ik deze bewering dan ook talloze keren uitgelegd: als je de korte en lange zijde van een rechthoekige driehoek in het kwadraat doet en bij elkaar optelt, krijg je de lengte van de schuine zijde in het kwadraat. Uitleggen dat iets zo is, is echter nog niet hetzelfde als uitleggen waarom iets zo is.

Geometrische bewijzen

Pythagoras heeft zijn ideeën over de verhoudingen van de rechthoekige driehoek waarschijnlijk op reis opgedaan. De stelling wordt in een van de eerste westerse boeken over meetkunde genoemd (door de Griekse geleerde Euclides), maar voorlopers ervan zijn al gevonden bij veel van de oude beschavingen in het Oosten: in China, in Babylon, in India.

Bewijzen voor de stelling van Pythagoras zijn dan ook door verschillende geleerden geleverd. In sommige gevallen door imposant schuifwerk met figuren, het zogenaamde geometrische bewijs. Voorbeelden hiervan zijn het bewijs in het Chinese document Cha Pei Suan Chingen het bewijs door de eerdergenoemde Euclides. In 900 voor Christus bewees Annairizi van Arabië de correctheid van de stelling aan de hand van een Arabisch tegelmozaiek. Ook de Engelse wiskundige Henry Perigal leverde in 1873 een bewijs voor de stelling.

Algebraïsche bewijzen

Daarnaast zijn er ook algebraïsche bewijzen voor de stelling van Pythagoras. Een aantal van deze bewijzen heb ik nader onder de loep genomen. Voorbeelden van deze bewijzen zijn het bewijs dat James Abram Garfield leverde, de rekensom die Leonardo da Vinci op de stelling losliet en het ingenieuze bewijs van de Indiase wiskundige en astronoom Bhaskara II.

Een eenvoudiger uit te leggen oplossing komt uit de Chinese hoek. In een vierkant zijn vier rechthoekige driehoeken getekend (zie hier). Om de stelling te bewijzen, is daarbij de volgende vergelijking opgesteld:(a+b)= 4 x 1/2 x a x b + c2, waarbij het eerste deel van de vergelijking staat voor de oppervlakte van het totale vierkant (lengte x breedte), en het tweede deel van de vergelijking voor de oppervlakte van de vier driehoeken + het kleine vierkant dat in het midden is ontstaan.

De vergelijking oplossen: a2+b2=c2

Als we deze vergelijking verder oplossen, komen we tot het volgende:

  • (a+b)(a+b) = 2ab + c2
  • a2+ 2ab + b = 2ab + c2
  • a2+b2=c2

En zie daar, het bewijs voor de stelling van Pythagoras!

Meer weten?

Als je meer wil weten over de bekendste stelling uit de wiskunde, kun je het boek De stelling van Pythagoras. De heilige geometrie van driehoeken van Claudi Alsina lezen. Als je meer uitwerkingen van de bewijzen wil zien, kijk dan op mijn Instagram.

Share Button

Vijf weetjes over Leonhard Euler

Leonhard Euler

In mijn artikel over bevriende getallenparen kwam hij al even ter sprake: de Zwitserse wiskundige en natuurkundige Leonhard Euler. Wie hij precies was en wat hij voor de wiskunde heeft betekent, heb ik hier samengevat in vijf ‘Eulerweetjes’.

Vijf weetjes over Leonhard Euler

  1. Leonhard Euler leefde van 1707 tot 1783 en bracht het grootste deel van zijn leven door in Rusland en Duitsland, waar hij werkte aan een zeer uitgebreid wiskundig oeuvre. Euler geldt als de belangrijkste wiskundige van de achttiende eeuw. Hij is sowieso een van de belangrijkste wiskundigen aller tijden.
  2. Euler bedacht de namen van de goniometrische functies sinus, cosinus en tangens. Je weet wel, waarmee je het hellingsgetal en de hoek kan uitrekenen bij een rechthoekige driehoek.
  3. Ook bedacht Euler het getal ‘e’. Dit getal is het grondtal van het natuurlijke logaritme. Het getal is ongeveer 2,71828182849. Hij noemde dit getal het exponentiële getal.
  4. Tussen 1747 en 1750 ontdekte Leonhard Euler zestig paren van bevriende getallen.
  5. Ook voor het gebruik van het getal  π was Euler belangrijk. Hij zorgde ervoor dat dit getal gebruikelijk werd om de verhouding van een cirkel tot zijn diameter te verklaren (straal x straal x π).
Share Button

Bevriende getallen

Bevriende getallenparen

We beginnen met een reeks: (220, 284), (1184, 1210), (2620, 2924), (5020, 5564), (6232, 6368), (10744, 10856), (12285, 14595), (17296, 18416), (63020, 76084). Kijk er maar even goed naar…

Deze getallenparen worden bevriende getallen genoemd. In de getallenwereld zijn er veel getallen met bijzondere eigenschappen, zoals deze bevriende getallen. Van twee getallen wordt gezegd dat ze bevriend zijn als de som van de delers van het ene getal gelijk is aan het andere getal, terwijl de delers van het andere getal bij elkaar opgeteld het ene getal opleveren. Het getal zelf wordt daarbij niet als deler meegenomen.

Bevriende getallen ontdekken

Het eerste paar bevriende getallen is in de Oudheid ontdekt door Pythagoras. Laten we kijken waarom deze twee getallen bevriend zijn:
• De som van de delers van 220: 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284
• De som van de delers van 284: 1 + 2 + 71 + 142 = 220

Na Pythagoras’ ontdekking duurde het nog ongeveer tien eeuwen voordat het volgende paar bevriende getallen werd gevonden, dit maal door de Arabische wiskundige Ibn Al-Banna. Het volgende paar werd omstreeks 1600 ontdekt in Perzië. Hoeveel bevriende getallen er in totaal zijn, is onbekend. De Zwitserse wiskundige Leonhard Euler ontdekte tussen 1747 en 1750 nog zestig nieuwe paren van bevriende getallen. Tegenwoordig zijn er ongeveer twaalf miljoen bevriende getallenparen bekend.

Maar waarom?

Wat het nut van deze kennis? Naast dat het (natúúrlijk) ontzettend interessant is om te weten dat er getallen zijn met overeenkomstige eigenschappen, kan het voor leerlingen ook handig zijn om te ontrafelen waarom bepaalde getallen een bevriend paar vormen. Hier drie ijzersterke argumenten:
• Het is een toepassing van de deelbaarheidsregels. Door te onderzoeken of getallen bevriend zijn, moeten leerlingen nagaan of een getal deelbaar is door een kleiner getal.
• Daarmee is het gelijk ook een oefening van de tafels van vermenigvuldiging.
• Door te zoeken naar bevriende getallen, kunnen er ook weer meer priemgetallen achterhaald worden. Deze priemgetallen zijn weer te gebruiken bij het verenvoudigen van breuken en ontbinden in factoren.

Succes met zoeken!


Bronnen:

  • Pickover, C.A. 2011. Het Wiskundeboek. Kerdriel: Uitgeverij Librero
  • Wikipedia
  • Digitaalrekenboek.nl
  • Wiskundemagie.be
  • https://www.cielen.eu/bevriende-getallen-uitleg.pdf

 

Share Button

Wiskundige spelletjes

Vijf bekende wiskundige spelletjes

Veel spellen hebben hun basis in de wiskunde en logica. Daarom vandaag vijf verschillende wiskundige spelletjes op een rij: boter-kaas-en-eieren, Hex, Mastermind, de Torens van Hanoi en de Rubik’s Cube.

1. Boter-kaas-en-eieren

Boter-kaas-en-eieren is waarschjinlijk een van de oudste en bekendste spellen. Wie kent het niet? Om de buurt zetten twee spelers, O en X, hun symbool in de vakjes van een raster van 3 bij 3. Wie als eerste drie een horizontale, verticale of diagonale lijn heeft gevormd met zijn symbolen, heeft gewonnen. Natuurlijk is gelijkspel ook mogelijk. Leuk om te weten: er zijn 362.880 manieren op de X en O op het bord te plaatsen (namelijk 9!, oftewel 9 x 8 x  7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2). In totaal zijn er 255.168 mogelijke spellen te spelen.

2. Hex

Hex is een bordspel voor twee spelers. Het speelbord bestaat uit ruitvormig gerankschikte zeshoeken en kan verschillende grootten aannemen. Meestal worden speelborden van 7 x 7 of 11 x 11 gebruikt. Spelers plaatsen om en om een gekleurde fiche (bijvoorbeeld rood en groen) op een van de zeskhoeken. De bedoeling is dat rood een rood pad probeert te maken dat twee van de overstaande zijden van de ruit met elkaar verbindt, en dat blauw een blauw pad probeert te maken tussen de andere twee overstaande zijden.

3. Mastermind

Mastermind is een logische klassieker. Het spel is in 1970 uitgevonden door Mordecai Meirowitz, een Israelische telecom-expert. Mastermind wordt gespeeld door twee spelers. De ene speler kiest een geheime code van vier kleuren. Daar heeft hij in totaal 1206 mogelijkheden voor (6 x 6 x 6 x 6). De andere speler probeert deze code te raden, door steeds vier pionnen op het spelbord te plaatsen. De codemaker moet vervolgens aangeven hoeveel van de gekleurde pionnen op de juiste plaats staan en hoeveel juist gekleurde op de verkeerde plaats staan, zonder aan te geven om welke pionnen het gaat. Daarna gaat de tegenstander weer verder met raden.

4. De Torens van Hanoi

De Torens van Hanoi is een wiskundige puzzel, uitgevonden door de Franse wiskundige Francois Édouard Antatole Lucas. Het spel bestaat uit een plankje met daarop drie stokjes. Op een van die stokjes zijn acht schijven geplaatst, gerangschikt op grootte, zodat ze een kegelvormige toren vormen. De bedoeling is dat de complete schijventoren naar een ander stokje wordt verplaatst. De regels zijn daarbij als volgt: spelers mogen maar één schijf tegelijk verplaatsen, en een grotere schijf mag niet op een kleinere rusten.

 

5. Rubik’s Cube

Deze welbekende kubus is in 1974 bedacht door de Hongaarse uitvinder Ernö Rubik. De kubus bestaat uit 3 x 3 x 3 kleinere kubussen, met grensvlakken in verschillende kleuren. Elke rij met blokjes kan zowel verticaal als horizontaal worden gedraaid. Het spel heeft als doel om de kubussen zo te draaien dat elke zijkant van de grote kubus maar één kleur heeft. Daar zijn trouwens 43252003274489856000 verschillende mogelijkheden voor.

Share Button

De stelling van Pythagoras

De stelling van Pythagoras

Iedere middelbare scholier moet ‘m leren: de stelling van Pythagoras. Deze stelling laat zien wat het verband is tussen de zijden van een rechthoekige driehoek, namelijk: A² + B² = C². In woorden: de lengte van de korte rechthoekszijde in het kwadraad plus de lengte van de lange rechthoekszijde in het kwadraat is de lengte van de schuine zijde in het kwadraat.

Wist je dat…..

Over Pythagoras zelf zijn ook een heleboel interessante dingen te vertellen, en dat leert bijna niemand tijdens wiskunde. Daarom hier opgesomd, vijf interessante weetjes over de beste man en zijn wiskunde:

  • Pythagoras was de eerste echte wiskundige en filosoof met een eigen groep volgelingen. Pythagoras leefde in de zesde eeuw voor Christus was afkomstig van het Griekse eiland Samos. Zijn volgelingen, de Pythagoreeërs, werden mathematikoi genoemd.
  • Pythagoras en zijn volgelingen dachten dat getallen de bouwstenen van het heelal waren, dat filosofie kan helpen bij het bereiken van geestelijke zuiverheid en dat bepaalde symbolen een mystieke betekenis hebben.
  • Daarnaast hadden de Pythagoreeërs heel strikte leefregels. Ze aten geen bonen, ze raapten niets op wat gevallen was, ze raakten geen witte hanen aan, ze aten geen hele broden, ze maakten geen bloemenslingers, ze keken niet in een spiegel waar een lamp naast staat en ze wandelden niet over hoofdwegen.
  • Vegetariërs werden vroeger Pythagoreërs genoemd. Het woord vegetariër werd in 1847 pas een officieel woord, toen in Engeland de Vegetarian Society werd opgericht.
  • De stelling van Pythagoras is ook in de praktijk heel handig, bijvoorbeeld in de bouw. Met de stelling kun je namelijk berekeken hoe lang een ladder moet zijn bij een bepaalde hoogte te komen, of hoe veel dakpannen er op een dak gelegd moeten worden.

Bronnen:
  • Pickover, C.A. 2011. Het Wiskundeboek. Kerdriel: Uitgeverij Librero
  • www.math4all.nl
  • www.wisfaq.nl

 

 

 

 

Share Button