Wiskundige paradoxen: Hilberts Hotel

Oneindigheid

Het begrip “oneindigheid” staat in de wiskunde voor iets dat groter is dan direct in getallen is uit te drukken.  Hilberts Hotel is een abstract idee dat werd bedacht door de Duitse wiskundige David Hilbert om vat op dit oneindige te krijgen.

Stel je een hotel voor met een oneindig aantal kamernummers: 1, 2, 3, 4, 5, 6, tot in het oneindige. In het hotel geldt een belangrijke regel: alle gasten krijgen een kamer, op voorwaarde dat ze van kamer veranderen als dat van hen wordt gevraagd. De gasten maar binnenstromen: binnen de kortste keren zit het hotel met een oneindig aantal kamers “vol” met een oneindig aantal gasten.

Oneindig veel nieuwe gasten

Neem nu de volgende situatie: er komt een nieuwe gast naar het hotel. Hij vraagt naar een kamer. De receptionist vraagt iedere gast om één kamer op te schuiven, zodat de nieuwe gast plaats kan nemen in kamer 1.

Een andere situatie: een reisleider komt aan de balie, met een oneindige buslading toeristen. Kunnen zij in het hotel met oneindig veel kamers overnachten? Zo ja, in welke kamers kunnen zij dan verblijven? De receptionist verzoekt alle gasten om te verhuizen naar een kamernummer dat het dubbele is van hun huidige kamernummer. Zo komt er een oneindig aantal kamers met een oneven nummer vrij. Et voilà, de oneindige buslading toeristen kan in het hotel overnachten.

De laatste situatie: weer een reisleider, maar nu eentje met een oneindig aantal busladingen bestaande uit oneindig veel toeristen. Wat nu? Zoals je zult verwachten, is ook dit geen probleem. Alle gasten wordt weer verzocht om naar het kamernummer te verhuizen dat het dubbele is van hun huidige kamernummer, zodat de oneven kamernummers vrijkomen. De nieuwe gasten krijgen vervolgens een kamernummer toegewezen dat een machtsverheffing is van een van de priemgetallen (3, 5, 7, 11, 13 enzovoorts). Het aantal priemgetallen is namelijk ook oneindig, en door de kamernummers te baseren op machtsverheffingen van priemgetallen kan het ook nooit voorkomen dat twee gasten op dezelfde kamer terechtkomen.

Bron: Lamua, Antonio (2011). Het boek der oneindigheid. Uitgeverij  Librero

Share Button