Bijzonder getallen: het getal nul

Het getal nul (0) is een bijzonder getal. Het duidt namelijk aan dat er niets is; en toch maakt het vaak een groot verschil. Denk maar eens aan het verschil tussen 1, 10, 100 en 1000.

De geschiedenis van nul

Het getal nul werd in 628 voor het eerst gebruikt, in India, door de geleerde Brahmagupta. Die stelde een aantal rekenregels op voor het rekenen met het getal. Pas in de negende eeuw werd het getal in India echter echt gebruikt. De oude Egyptenaren waren die eersten die een teken gebruikten om ‘niets’ aan te geven, maar dat teken betekende niet hetzelfde als het getal nul. De Babyloniërs hadden ook geen teken voor nul, maar gebruikten een lege ruimte om iets aan te duiden wat er niet was. In Europa wordt het getal nul pas in de twaalfde eeuw een gangbaar getal. Dit komt omdat de Romeinen er eerder niets vanaf wilden weten. Zij gebruikten het woord ‘nulla’ om niets aan te duiden, en het woord ‘nihil’ als een berekening op niets uitkwam. Voor getallen als 10, 100 en 1000 gebruikten zij de letters X, C en M. Het (theoretische) probleem dat dit opleverde was dat dit tot lange getallenreeksen leidde, waarbij heel grote getallen niet in een klein aantal symbolen konden worden weergegeven. Ook de oude Grieken hadden geen nul. Zij dachten namelijk: Kan iets wel niets zijn? Een heel filosofische discussie dus.

Unieke eigenschappen van nul

Het getal heeft naast een bijzondere geschiedenis ook een aantal unieke eigenschappen. Zo is vermenigvuldigen met nul altijd nul, is delen door nul niet toegestaan en zijn een heleboel andere rekenkundige bewerkingen voor het getal nul niet gedefinieerd.

Bronnen: NRC Handelsblad, Nemo Kennislink en Wiskunde.net

Share Button

Bevriende getallen

Bevriende getallenparen

We beginnen met een reeks: (220, 284), (1184, 1210), (2620, 2924), (5020, 5564), (6232, 6368), (10744, 10856), (12285, 14595), (17296, 18416), (63020, 76084). Kijk er maar even goed naar…

Deze getallenparen worden bevriende getallen genoemd. In de getallenwereld zijn er veel getallen met bijzondere eigenschappen, zoals deze bevriende getallen. Van twee getallen wordt gezegd dat ze bevriend zijn als de som van de delers van het ene getal gelijk is aan het andere getal, terwijl de delers van het andere getal bij elkaar opgeteld het ene getal opleveren. Het getal zelf wordt daarbij niet als deler meegenomen.

Bevriende getallen ontdekken

Het eerste paar bevriende getallen is in de Oudheid ontdekt door Pythagoras. Laten we kijken waarom deze twee getallen bevriend zijn:
• De som van de delers van 220: 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284
• De som van de delers van 284: 1 + 2 + 71 + 142 = 220

Na Pythagoras’ ontdekking duurde het nog ongeveer tien eeuwen voordat het volgende paar bevriende getallen werd gevonden, dit maal door de Arabische wiskundige Ibn Al-Banna. Het volgende paar werd omstreeks 1600 ontdekt in Perzië. Hoeveel bevriende getallen er in totaal zijn, is onbekend. De Zwitserse wiskundige Leonhard Euler ontdekte tussen 1747 en 1750 nog zestig nieuwe paren van bevriende getallen. Tegenwoordig zijn er ongeveer twaalf miljoen bevriende getallenparen bekend.

Maar waarom?

Wat het nut van deze kennis? Naast dat het (natúúrlijk) ontzettend interessant is om te weten dat er getallen zijn met overeenkomstige eigenschappen, kan het voor leerlingen ook handig zijn om te ontrafelen waarom bepaalde getallen een bevriend paar vormen. Hier drie ijzersterke argumenten:
• Het is een toepassing van de deelbaarheidsregels. Door te onderzoeken of getallen bevriend zijn, moeten leerlingen nagaan of een getal deelbaar is door een kleiner getal.
• Daarmee is het gelijk ook een oefening van de tafels van vermenigvuldiging.
• Door te zoeken naar bevriende getallen, kunnen er ook weer meer priemgetallen achterhaald worden. Deze priemgetallen zijn weer te gebruiken bij het verenvoudigen van breuken en ontbinden in factoren.

Succes met zoeken!


Bronnen:

  • Pickover, C.A. 2011. Het Wiskundeboek. Kerdriel: Uitgeverij Librero
  • Wikipedia
  • Digitaalrekenboek.nl
  • Wiskundemagie.be
  • https://www.cielen.eu/bevriende-getallen-uitleg.pdf

 

Share Button