Wiskundige bewijzen: a2+b2=c2

a2+b2=c2

Iedere middelbare scholier moet ‘m leren: de stelling van Pythagoras. Als bijlesdocent wiskunde heb ik deze bewering dan ook talloze keren uitgelegd: als je de korte en lange zijde van een rechthoekige driehoek in het kwadraat doet en bij elkaar optelt, krijg je de lengte van de schuine zijde in het kwadraat. Uitleggen dat iets zo is, is echter nog niet hetzelfde als uitleggen waarom iets zo is.

Geometrische bewijzen

Pythagoras heeft zijn ideeën over de verhoudingen van de rechthoekige driehoek waarschijnlijk op reis opgedaan. De stelling wordt in een van de eerste westerse boeken over meetkunde genoemd (door de Griekse geleerde Euclides), maar voorlopers ervan zijn al gevonden bij veel van de oude beschavingen in het Oosten: in China, in Babylon, in India.

Bewijzen voor de stelling van Pythagoras zijn dan ook door verschillende geleerden geleverd. In sommige gevallen door imposant schuifwerk met figuren, het zogenaamde geometrische bewijs. Voorbeelden hiervan zijn het bewijs in het Chinese document Cha Pei Suan Chingen het bewijs door de eerdergenoemde Euclides. In 900 voor Christus bewees Annairizi van Arabië de correctheid van de stelling aan de hand van een Arabisch tegelmozaiek. Ook de Engelse wiskundige Henry Perigal leverde in 1873 een bewijs voor de stelling.

Algebraïsche bewijzen

Daarnaast zijn er ook algebraïsche bewijzen voor de stelling van Pythagoras. Een aantal van deze bewijzen heb ik nader onder de loep genomen. Voorbeelden van deze bewijzen zijn het bewijs dat James Abram Garfield leverde, de rekensom die Leonardo da Vinci op de stelling losliet en het ingenieuze bewijs van de Indiase wiskundige en astronoom Bhaskara II.

Een eenvoudiger uit te leggen oplossing komt uit de Chinese hoek. In een vierkant zijn vier rechthoekige driehoeken getekend (zie hier). Om de stelling te bewijzen, is daarbij de volgende vergelijking opgesteld:(a+b)= 4 x 1/2 x a x b + c2, waarbij het eerste deel van de vergelijking staat voor de oppervlakte van het totale vierkant (lengte x breedte), en het tweede deel van de vergelijking voor de oppervlakte van de vier driehoeken + het kleine vierkant dat in het midden is ontstaan.

De vergelijking oplossen: a2+b2=c2

Als we deze vergelijking verder oplossen, komen we tot het volgende:

  • (a+b)(a+b) = 2ab + c2
  • a2+ 2ab + b = 2ab + c2
  • a2+b2=c2

En zie daar, het bewijs voor de stelling van Pythagoras!

Meer weten?

Als je meer wil weten over de bekendste stelling uit de wiskunde, kun je het boek De stelling van Pythagoras. De heilige geometrie van driehoeken van Claudi Alsina lezen. Als je meer uitwerkingen van de bewijzen wil zien, kijk dan op mijn Instagram.

Share Button

De stelling van Pythagoras

De stelling van Pythagoras

Iedere middelbare scholier moet ‘m leren: de stelling van Pythagoras. Deze stelling laat zien wat het verband is tussen de zijden van een rechthoekige driehoek, namelijk: A² + B² = C². In woorden: de lengte van de korte rechthoekszijde in het kwadraad plus de lengte van de lange rechthoekszijde in het kwadraat is de lengte van de schuine zijde in het kwadraat.

Wist je dat…..

Over Pythagoras zelf zijn ook een heleboel interessante dingen te vertellen, en dat leert bijna niemand tijdens wiskunde. Daarom hier opgesomd, vijf interessante weetjes over de beste man en zijn wiskunde:

  • Pythagoras was de eerste echte wiskundige en filosoof met een eigen groep volgelingen. Pythagoras leefde in de zesde eeuw voor Christus was afkomstig van het Griekse eiland Samos. Zijn volgelingen, de Pythagoreeërs, werden mathematikoi genoemd.
  • Pythagoras en zijn volgelingen dachten dat getallen de bouwstenen van het heelal waren, dat filosofie kan helpen bij het bereiken van geestelijke zuiverheid en dat bepaalde symbolen een mystieke betekenis hebben.
  • Daarnaast hadden de Pythagoreeërs heel strikte leefregels. Ze aten geen bonen, ze raapten niets op wat gevallen was, ze raakten geen witte hanen aan, ze aten geen hele broden, ze maakten geen bloemenslingers, ze keken niet in een spiegel waar een lamp naast staat en ze wandelden niet over hoofdwegen.
  • Vegetariërs werden vroeger Pythagoreërs genoemd. Het woord vegetariër werd in 1847 pas een officieel woord, toen in Engeland de Vegetarian Society werd opgericht.
  • De stelling van Pythagoras is ook in de praktijk heel handig, bijvoorbeeld in de bouw. Met de stelling kun je namelijk berekeken hoe lang een ladder moet zijn bij een bepaalde hoogte te komen, of hoe veel dakpannen er op een dak gelegd moeten worden.

Bronnen:
  • Pickover, C.A. 2011. Het Wiskundeboek. Kerdriel: Uitgeverij Librero
  • www.math4all.nl
  • www.wisfaq.nl

 

 

 

 

Share Button